如图，设椭圆y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．设直线AC与直线BD交于点Q1．（1）求椭圆的方程；（2）求线段

Question

如图，设椭圆(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．设直线AC与直线BD交于点Q₁．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）求证：点Q₁的横坐标为定值．

Answer 1

（1）∵椭圆(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），
短轴长为4，焦距为2，
∴

2b＝4

2c＝2

，解得b=2，c=1，a²=4+1=5，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(5)＝1．…（3分）
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
则(y12)/(5)+(x12)/(4)＝1，①，(y22)/(5)+(x22)/(4)＝1，②
①-②得 ((y2−y1)•(y2+y1))/((x2−x1)(x2+x1))=-(5)/(4)，…（5分）
∵(y2−y1)/(x2−x1)=(y)/(x−4)，

y

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