已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）过点（-√2,1）,长轴长为2√5,过点C（-1,0）且1.若线段AB中点的横坐标是-0.5,求直线l的斜率；2.在x轴上是否存在点M,使（向量MA）×（向量MB）+5/（3k&

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）过点（-√2,1）,长轴长为2√5,过点C（-1,0）且
1.若线段AB中点的横坐标是-0.5,求直线l的斜率；
2.在x轴上是否存在点M,使（向量MA）×（向量MB）+5/（3k²+1）是与k无关的常数?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.

Answer 1

长轴长为2√5,所以a=√5,所以椭圆的方程为x²/5+y²/b²=1
椭圆过（-√2,1）,带入得2/5+1/b²=1,b=√(5/3)
设过点C（-1,0）的直线方程为y=k(x+1)与椭圆的方程联立得(1+3K^2)x^2+6k^2x+3k^2-5=0
线段AB中点的横坐标是-3k^2/(1+3K^2)=-0.5,所以k=√3/3或-√3/3
设M(x,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-6k^2/(1+3K^2), x1x2=(3k^2-5)/(1+3K^2),
y1y2=k^2(x1+1)(x2+1)=-4k^2/(1+3K^2)
向量MA=(x1-x,y1),向量MB=(x2-x,y2),（向量MA）×（向量MB)）+5/（3k²+1）=x1x2-x(x1+x2)+x^2+y1y2+5/（3k²+1）=(3k^2-5)/(1+3K^2)+x6k^2/(1+3K^2)+x^2-4k^2/(1+3K^2)+5/（3k²+1）=[(1+3k^2)x^2+6(x-1)k^2]/(1+3k^2)=x^2+（6x-1)k^2/(1+3k^2)是一个与k无关的量,所以x=1/6
M（1/6,0）