在四凌椎P-ABCD中,底面ABCD是边长为根号2的正方形,E为PC的中点,PB=PD.若PA=PC=2求三凌椎E-BCD的体积

Question

在四凌椎P-ABCD中,底面ABCD是边长为根号2的正方形,E为PC的中点,PB=PD.若PA=PC=2求三凌椎E-BCD的体积

Answer 1

、底面ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD=a,
PD=a,AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,
根据勾股逆定理,
△APD是RT△,
同理△PCD是RT△,
AD∩CD=D,
∴PD⊥平面ABCD.
2、连结底面对角线AC、BD,
则AC⊥BD,
由前所述,PD⊥平面ABCD,
根据三垂线定理,
∴PB⊥AC.
3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD,垂足O,则O是对角线AC和BD交点,连结AF,
PB=√3a,则〈PAB=90度,〈PCB=90度,
S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,
S△FAB==√2a^2/4,
S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,
设二面角A-PB-D平面角为θ,
S△FOB=S△FAB*cosθ,
cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,
θ=60度.
二面角A—PB—D为度.
4、设内切球半径为r,内切球心为I,
则I至各平面距离为r,
连结I至多个顶点连线,把四棱锥分成5个小三棱锥,5个小三棱锥体积之和等于大四棱锥的体积.
r*(a^2/2+a^2/2+√2a*a/2+√2a*a/2+a^2)/3=a^2*a/3,
r=(2-√2)a.
最大球即是内切球,最大半径为(2-√2)a.
5、因△PAB、△PBC,△PDB都是以PB为斜边的RT△,
从PB中点F至A、B、C、D距离均是PB/2,
PB=√3a,
四棱锥外接球的半径R=PB/2=√3a/2.