如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若cos∠CAO=45，且OC=6，求PB

Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAO=(4)/(5)，且OC=6，求PB的长．

Answer 1

（1）连接OB．

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OP⊥AB，
∴AC=BC．
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB．
∴∠PAB=∠PBA．
∴∠PAO=∠PBO．
∵PD为⊙O的切线，
∴∠OBP=90°．
∴∠PAO=90°．
∴PA是⊙O的切线．

（2）设AC=4k，AO=5k，由勾股定理可知OC=3k，
∴sin∠CAO=(3)/(5)，tan∠COA=(4)/(3)
∴(CO)/(OA)=(3)/(5)，即(6)/(OA)=(3)/(5)，解得OA=10．
∵tan∠POA=(AP)/(AO)=(4)/(3)，
∴(AP)/(10)=(4)/(3)，解得AP=(40)/(3)．
∵PA和PB均为⊙的切线，
∴PB=PA=(40)/(3)．