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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点FH分别为A1DA1C的中点,证明A1B‖平面AFC.B1H⊥平面AFC
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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点F H分别为A1D A1C的中点,证明A1B‖平面AFC.B1H⊥平面AFC
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答案和解析
连接BD、AC,设BD、AC的交点为M,连接FM,因为F、M分别是A1D、BD的中点,所以在三角形A1BD中FM是中位线,即FM平行A1B,又因为FM在平面AFC内,A1B不在平面AFC内,所以A1B‖平面AFC
要证明B1H⊥平面AFC,等同于证明B1D⊥平面AFC,因为AC⊥平面B1D1DB,又因为B1D在平面B1D1DB上,所以AC⊥B1D,平面AFC等同于平面AD1C,连接D1M,设D1M与BD的交点为N,则只需证明DN⊥D1M即可,易证三角形DNM和三角形B1D1N为相似三角形,且相似比为一比二,又因为B1D=根号3,BD=根号2,MD1=根号6除以2,可以算出DM=根号2除以2,DN=根号3除以3,MN=根号6除以6,可得DN的平方+MN的平方=DM的平方,所以∠DNM=90度,即DN⊥D1M,又因为D1M∩AC=-M,所以B1H⊥平面AFC
有些符号电脑上我弄不出来,因此用文字表述,你写的时候要注意用数字符号表达出来
要证明B1H⊥平面AFC,等同于证明B1D⊥平面AFC,因为AC⊥平面B1D1DB,又因为B1D在平面B1D1DB上,所以AC⊥B1D,平面AFC等同于平面AD1C,连接D1M,设D1M与BD的交点为N,则只需证明DN⊥D1M即可,易证三角形DNM和三角形B1D1N为相似三角形,且相似比为一比二,又因为B1D=根号3,BD=根号2,MD1=根号6除以2,可以算出DM=根号2除以2,DN=根号3除以3,MN=根号6除以6,可得DN的平方+MN的平方=DM的平方,所以∠DNM=90度,即DN⊥D1M,又因为D1M∩AC=-M,所以B1H⊥平面AFC
有些符号电脑上我弄不出来,因此用文字表述,你写的时候要注意用数字符号表达出来
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