一个相对棱相等的四面体,其棱长分别为4、5、6.求四面体的体积?

Question

一个相对棱相等的四面体,其棱长分别为4、5、6.求四面体的体积?

Answer 1

可以想象成把这个四面体还原成一个长方体中的一部分,在一个长方形中的八个顶点中,当取出4个顶点,使这四个顶点两两相连所构成的六条直线,分别成为长方体六个面的面对角线,则可以很轻易的得出,由这4点构成的四面体对棱相等（因为长方体中相对两面的面对角线一定相等）这个结论,它的三对棱分别对应长方体三个相邻面的面对角线,如果设长方体的长宽高分别为a,b,c,则四面体的三对棱长分别为√（a^+b^）,√(a^+c^),√(b^+c^),由此有
√(a^+b^)=4
√(a^+c^)=5
√(b^+c^)=6
可以得出a=√10/2,b=3√6/2,c=3√10/2
而四面体的体积则等于长方体体积减去四个体积均为(1/6)长方体体积的小四面体体积
由此得出V=abc-4*(1/6)abc=abc/3=15√6/4