定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角

Question

定义：如果数列 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 为“三角形”数列．对于“三角形”数列 ，如果函数 使得 仍为一个“三角形”数列，则称 是数列 的“保三角形函数”， .
（Ⅰ）已知 是首项为2，公差为1的等差数列，若 是数列 的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列 的首项为2010， 是数列 的前n项和，且满足 ，证明 是“三角形”数列；
（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数 ， ，和数列1， ， ，（ ）提出一个正确的命题，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） ，（Ⅱ）先求出数列2 的通项公式，然后根据“三角形”数列的定义证明即可，（3）函数7 ，8 是数列1，1+d，1+2d  的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d，1+2d 是三角形数列，所以 ，即 ．②数列中的各项必须在定义域内，即 .
③ 是三角形数列.由于7 ，8 是单调递减函数，所以 ，解得 ．