对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=ex+tex+1是“可构造三角形函数”，则实数t的

Question

对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=(ex+t)/(ex+1)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是 ___ ．

Answer 1

由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=(ex+t)/(ex+1)=1+(t-1)/(ex+1)，
①当t-1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t-1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t-1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2．
③当t-1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥(1)/(2)．
综上可得，(1)/(2)≤t≤2，
故实数t的取值范围是[(1)/(2)，2]，
故答案为：[(1)/(2)，2]