某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，

Question

某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．
（1）工厂第几年开始获利？
（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？

Answer 1

（本题满分16分）
（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列，
设第n年时累计的纯收入为f（n）．
∴f（n）=25n-[6+8+…+（2n+4）]-49=-n²+20n-49，…（3分）
获利即为：f（n）>0∴-n²+20n-49>0，即n²-20n+49<0
⇒10-√(51)<n<10+√(51)，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17． …6 分
∴当n=3时，即第3年开始获利；…（7分）
（2）方案①：年平均收入(f(n))/(n)=20-(n+(49)/(n))≤20-14=6（万元），此时n=7，
出售该设备后，年平均收益为6+(14)/(7)=8（万元）；…11 分
方案②：f（n）=-（n-10）²+51，
∴当n=10时，f（n）_max=51，
出售该设备后，年平均收益为(51+9)/(10)=6（万元），…15 分
故第一种方案年平均收益较大．  …16 分