某工厂用72万元钱购买了一台新机器，每年的保险费、油费合计为7.5万元，另外，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元．（I）设前n年的维修保养总费用为Sn万元，求Sn

Question

某工厂用72万元钱购买了一台新机器，每年的保险费、油费合计为7.5万元，另外，维修保养费用逐年递增，第一年为2万元，以后每年增加1万元．
（I）设前n年的维修保养总费用为S_n万元，求S_n的表达式；
（Ⅱ）截止到第n年，这台机器的总费用是多少？
（Ⅲ）这台机器的最佳使用年限（年平均费用最小）是多少？

Answer 1

（I）由题意，每年的保养费是一个首项为2，公差为1的等差数列，可得Sn＝2+3+…+(n+1)＝(n(n+3))/(2)；（2分）
（II）总费用为72+7.5n+(n2+3n)/(2)＝(n2+18n+144)/(2)（万元）
答：截止到第n年，这台机器的总费用是(n2+18n+144)/(2)万元；（4分）
（III）设这台机器前n年的年平均费用为f（n）万元，f(n)＝(n2+18n+144)/(2n)＝((n)/(2)+(72)/(n))+9≥21，当且仅当(n)/(2)＝(72)/(n)时等号成立．
即n=12时等号成立．
答：这台机器的最佳使用年限是12年．（8分）