如下图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO

Question

如下图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】

⑴请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形；

⑵如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

图1(n=4)        图2(n=5)          图3(n=6)              图n

【归纳猜想】

⑶图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　           　，　       　；

⑷图n中，“叠弦三角形”　           　等边三角形(填“是”或“不是”)

⑸图n中，“叠弦角”的度数为　                    　(用含n的式子表示)

Answer 1

 （1）如图1，

∵四边形ABCD是正方形， 由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，

∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，

∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，……………………….3分

（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五边形ABCDE是正五边形，

 由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E'AO   ∴△APE≌△AOE'（ASA）

∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB                            

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），    ∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．

 在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．∴∠PAM=∠OAN，

∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE'=∠OAB  （等量代换）．………………………6分

 （3）由（1）有，△APD≌△AOD'，

∴∠DAP=∠D′AO，

在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，

由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，

∴∠D′AD=∠D′AB=15°，...............................................................................7分

同理可得，∠E′AO=24°， .................................................................................8分

故答案为：15°，24°．

 （4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，

∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，

由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO   ∴∠PAO=∠FAO=60°，

∴△PAO是等边三角形．故答案为：是 ………………………………………9分

（5）图n中的多边形是正（n+3）边形，

同（3）的方法得，

故答案：．………………………………………………………..10分