如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA1B1C1．（1）求矩阵T；（2）设双曲线F：x2-y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′，求曲线F′的方程．

Question

如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA₁B₁C₁．
（1）求矩阵T；
（2）设双曲线F：x²-y²=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′，求曲线F′的方程．

Answer 1

（1）设T=

a	b
c	d

，
由

a	b
c	d

1

0

=

2

1

，解得

a＝2

c＝1

                    …（3分）
由

a	b
c	d

0

1

=

1

2

，解得

b＝1

d＝2

所以T=

2	1
1	2

．                                 …（7分）
（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P′（x′，y′），则

2	1
1	2

x

y

=

x′

y′

，即

2x+y＝x′

x+2y＝y′

，所以

x＝(2x′−y′)/(3)

y＝(2y′−x′)/(3)

　　　…（9分）
因为x²-y²=1，
所以（2x´-y´）²-（2y´-x´）²=9，即x´²-y´²=3，…（12分）
故曲线F´的方程为x²-y²=3．…（14分）