已知A是n阶矩阵,满足A^2-2A-3E=0,求矩阵的特征值,答案里有一步运算我想确认一下原理设k为相应特征值的特征向量,里面有一步由(A^2-2A-3E)α=0推出：k^2-2K-3这个的原理是否是因为他们的特征值的

Question

已知A是n阶矩阵,满足A^2-2A-3E=0,求矩阵的特征值,答案里有一步运算我想确认一下原理
设k为相应特征值的特征向量,里面有一步由(A^2-2A-3E)α=0推出：k^2-2K-3
这个的原理是否是因为他们的特征值的和是对角元素的和是相等的,所以一个元素经过加减,其特征值也能这样加减?

Answer 1

Aα = kα
A^2α = A(Aα) = A(kα) = kAα = k^2α
...
A^m α = k^m α
所以一般来讲对于多项式f总有f(A)α=f(k)α
另一步没啥好多解释的,cα=0可以得到c=0,因为特征向量α非零