设A是三阶不可逆矩阵,a,b是线性无关的三维向量,满足Aa=b,Ab=a,则A与哪个对角阵相似

Question

设A是三阶不可逆矩阵,a,b是线性无关的三维向量,满足Aa=b,Ab=a,则A与哪个对角阵相似

Answer 1

A是三阶不可逆矩阵,这就说明A的行列式为0,
即|A|=0,所以0是矩阵A的特征值,
而Aa=b,Ab=a
那么A(a+b)=b+a,故1是矩阵A的特征值,
A(a-b)=b-a= -(a-b),故 -1也是矩阵A的特征值,
所以矩阵A的3个特征值分别是1,-1,0
于是A与对角阵
(1
-1
0)相似