不定方程的解法.例题:4x+9y=17.求详细的解答过程.

Question

不定方程的解法.例题:4x+9y=17.求详细的解答过程.

Answer 1

解不定方程4x+9y=17
4x+9y=17 (#1#）
一眼看出x=2,y=1是它的一组特解,当然还有其它的特解,如x=-7,y=5.
如看不出,可这样：
4z+y=1 注：将4的倍数集中到4x项,并改用新变量.
易见可令y=1 (z=0),于是立即得 x=2.复杂些的例子另见其它例题.
再看4x+9y=0 (#2#) 的通解是 x=9t,y=-4t
将#1#的任何一个特解与#2#的通解相加,即得到
#1#的通
x=2+9t,y=1-4t
或写成：
(x,y)=(2+9t,1-4t)
这种叠加方式,称为线性叠加(原理),在这里的解不定方程用到,另外,
解线性方程组（如二元一次方程组）、求解同余式组、解微分方程(组)、解插值多项式、求解线性递推式(递归方程),往往用到这个线性叠加原理.（中国剩余定理、拉格朗日插值法、常数变易法解微分方程及其它类似方法等,实际也都是这个原理）
外一则：
解#3#
x+2y=a
2x+3y=b
先解
#4#
x+2y=a
2x+3y=0
再解
#5#
x+2y=0
2x+3y=b
将#5,4#的解叠加即是#3#的解.
另题：求解不定方程36x+83y=1
36x+83y=1
36z+11y=1 注：将36的倍数集中到项36x上,并改用新变量
3z+11w=1 注：将11的倍数集中到11y上
易见可以z=-7,w=2,逆代即可求得特解x,y.
下面提出一种利于快速计算（特别是手算、口算心算）的细节算法
将上面三个式子中的两邻的进行比较得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
x=-53+83t
y=23-83t
验证：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
将(36*(-53)+83*23)复制到内存剪贴板,运行windows计算器(开始菜单-运行-calc或calc.exe-可设置成科学型)
粘贴,得到值1
复杂的情况,请参见我的百度空间博文.
例如：377873x=1+499067y
百度搜索下面的关键字,或搜上面这个不定方程,可以找到.
中国剩余定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh
注：其中,关键字wsktuuytyh 来自我的现用名的五笔编码.wsk何 tuu冬 ytyh州
文章标题是：
中国剩余定理之我的改进和新记号[散见于博文与答题]-剩余倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中,有比较简单的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y