设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的离心率为e=2,经过双曲线的右焦点F且斜率为（根号15）/3的直线叫双曲线于A,B两点,若绝对值（AB）=12,求此时的双曲线的方程

Question

设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的离心率为e=2,经过双曲线的右焦点F且斜率为（根号15）/3的直线叫双曲线于A,B两点,若绝对值（AB）=12,求此时的双曲线的方程

Answer 1

e=2,即c/a=2,故b²=3a²,代入双曲线方程化简为3x²-y²=3a² .（1）
焦点F（c,0）,故直线可设为y=√15/3(x-c),代入（1）式得4x²+10cx-5c²-9a²=0 （2）
c/a=2,故（2）可以化简为4x²+20x-29a²=0
设A(x1,y1)B(x2,y2),|AB|=√（k²+1）√[(x1+x2)²-4x1x2]=12,化简求得a²=29
∴b²=87
∴x²/29-y²/87=1