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在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且过点(3,12).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设椭圆E的左右顶点分别为A1,A2,上顶点为B,圆C与以线段OA2为直径的圆

题目详情
在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,且过点(
3
1
2
).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设椭圆E的左右顶点分别为A1,A2,上顶点为B,圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B对称,
①求圆C的标准方程;
②设点P是圆C上的动点,求△PA1B的面积的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,∵椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,且过点(
3
1
2
),
c
a
3
2
3
a2
+
1
4
b2
=1
a2=b2+c2
,∴
作业帮用户 2017-10-17
问题解析
(1)利用椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,且过点(
3
1
2
),建立方程组,可求椭圆的几何量,从而可得椭圆方程;
(2)①由题意A1(-2,0),A2(2,0),B(0,1),从而可得以线段OA2为直径的圆的圆心坐标为(1,0),半径为1
求出(1,0)关于直线A1B的方程的对称点,即可求得圆C的标准方程;
②由于A1B=
4+1
=
5
,所以△PA1B的面积最大时,P到A1B的距离最大,当且仅当P到A1B的距离最大值为C到A1B的距离加上半径,从而可得△PA1B的面积的最大值.
名师点评
本题考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
考点点评:
本题考查椭圆的标准方程,考查圆的方程,考查点的对称性,考查三角形面积的计算,确定△PA1B的面积最大时,P到A1B的距离最大是关键.
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