在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点(3，12)．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，圆C与以线段OA2为直径的圆

Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(√(3))/(2)，且过点(√(3)，(1)/(2))．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B对称，
①求圆C的标准方程；
②设点P是圆C上的动点，求△PA₁B的面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意，∵椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(√(3))/(2)，且过点(√(3)，(1)/(2))，
∴

(c)/(a)＝(√(3))/(2)

(3)/(a2)+((1)/(4))/(b2)＝1

a2＝b2+c2

，∴

作业帮用户 2017-10-17

问题解析

（1）利用椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(√(3))/(2)，且过点(√(3)，(1)/(2))，建立方程组，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆方程；
（2）①由题意A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1），从而可得以线段OA₂为直径的圆的圆心坐标为（1，0），半径为1
求出（1，0）关于直线A₁B的方程的对称点，即可求得圆C的标准方程；
②由于A₁B=√(4+1)=√(5)，所以△PA₁B的面积最大时，P到A₁B的距离最大，当且仅当P到A₁B的距离最大值为C到A₁B的距离加上半径，从而可得△PA₁B的面积的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查点的对称性，考查三角形面积的计算，确定△PA₁B的面积最大时，P到A₁B的距离最大是关键．

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