如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是

Question

如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

Answer 1

（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∵斜边AB不变，
∴斜边上的中线OP不变；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB为等腰直角三角形时，面积最大，
理由为：
证明：如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时，△AOB的面积最大，
此时，S_△AOB=(1)/(2)AB•h＝(1)/(2)×2a•a＝a2．
∴△AOB的最大面积为a²．