设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c

Question

设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a(эz/эx)+b(эz/эy)=c

Answer 1

Φ(cx-az,cy-bz)=0,两边对x求偏导数得：
Φ1(c-a∂z/∂x)+Φ2(-b∂z/∂x)=0, ∂z/∂x=cΦ1/(bΦ2+aΦ1)
两边对y求偏导数得：
Φ1(-a∂z/∂y)+Φ2(c-b∂z/∂y)=0, ∂z/∂y=cΦ2/(bΦ2+aΦ1)
所以：a∂z/∂x+b∂z/∂y=c