已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA•PB=0，PB•PC=0，PC•PA=0，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（）A.2B.1C.12D.14

Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足

PA

•

PB

=0，

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（　　）
A. 2
B. 1
C. (1)/(2)
D. (1)/(4)

Answer 1

∵

PA

•

PB

＝0，

PB

•

PC

＝0，

PC

•

PA

＝0，
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴4=PA²+PB²+PC²，
则由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=(1)/(2)（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，
故选A