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设A是已知的n阶矩阵,满足A^2=A,试证2E－A可逆,并求（2E－A）的－1次幂
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设A是已知的n阶矩阵,满足A^2=A,试证2E－A可逆,并求（2E－A）的－1次幂
▼优质解答
答案和解析
因为 A^2 = A
所以 A^2-A=0
所以 A(A-2E)+2A-A=0
所以 A(A-2E)+A-2E = - 2E
即有 (A+E)(A-2E) = -2E
所以 (1/2)(A+E)(2E-A) = E.
所以 2E-A 可逆,且 (2E-A)^-1 = (1/2)(A+E).
所以 A^2-A=0
所以 A(A-2E)+2A-A=0
所以 A(A-2E)+A-2E = - 2E
即有 (A+E)(A-2E) = -2E
所以 (1/2)(A+E)(2E-A) = E.
所以 2E-A 可逆,且 (2E-A)^-1 = (1/2)(A+E).
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