假设N盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动(N-1)个开关,能否把所有的灯都关上?如能,请证明此结论,或给出一种关灯的办法

Question

假设N盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动(N-1)个开关,能否把所有的灯都关上?如能,请证明此结论,或给出一种关灯的办法

Answer 1

当n为奇数时,不能按规定将所有的灯关上.
因为要关上一盏灯,必须经过奇数次拉动它的开关.
由于n是奇数,所以n个奇数的和=奇数,
因此要把所有的灯(n盏)都关上,拉动拉线开关的总次数一定是奇数.
但因为规定每次拉动n-1个开关,且n-1是偶数,
故按规定拉动开关的总次数一定是偶数.
∵奇数≠偶数,
∴当n为奇数时,不能按规定将所有灯都关上.
当n为偶数时,能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下:
设灯的编号为1,2,3,4,…,n.做如下操作:
第一次,1号灯不动,拉动其余开关;
第二次,2号灯不动,拉动其余开关;
第三次,3号灯不动,拉动其余开关;
…
第n次,n号灯不动,拉动其余开关.这时所有的灯都关上了.