怎么样用数学归纳法证明x的2n-1次方+y的2n-1次方能被x+y整除?

Question

怎么样用数学归纳法证明x的2n-1次方+y的2n-1次方能被x+y整除?

Answer 1

用第二数学归纳法：
n=1时
(x+y)整除x^(2*1-1)+y^(2*1-1)=x+y成立
n=2时
x+y整除x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)成立
假设n≤k时（k≥3）
(x+y)整除x^(2k-1)+y^(2k-1)成立
那么当n=k+1时
x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)
=x^(2k+1)+y^(2k+1)
=(x^(2k-1)+y^(2k-1))*(x^2+y^2)-x^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)
=(x^(2k-1)+y^(2k-1))*(x^2+y^2)-x^2*y^2(x^(2k-3)+y^(2k-3))
由归纳假设知：
x+y整除x^(2k-1)+y^(2k-1)
x+y整除x^(2k-3)+y^(2k-3)
因此x+y整除(x^(2k-1)+y^(2k-1))*(x^2+y^2)-x^2*y^2(x^(2k-3)+y^(2k-3))
即x+y整除x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)
综上,对任意正整数n,x+y整除x^(2n-1)+y^(2n-1)
如仍有疑惑,欢迎追问.祝：