如图,直角梯形直角梯形ABCD中,角BCD=90度,且CD=2AD.过点D做DE//AB交角BCD的平分线于点E,连接BE（1）求证：BC=CD（2）将三角形BCE饶点C顺时针旋转90度得到三角形DCG连接EG求证CD垂直平分EG（3）延长B

Question

如图,直角梯形直角梯形ABCD中,角BCD=90度,且CD=2AD.过点D 做DE//AB交角BCD的平分线于点E,连接BE  （1）求证：BC=CD（2）将三角形BCE饶点C顺时针旋转90度得到三角形DCG连接EG求证CD垂直平分EG（3）延长BE交CD于点P 求证P是CD的中点  

Answer 1

证明：
1）延长DE交BC于F,得∠DFC=∠ABC
得tan∠DFC=tan∠ABC=2即DC=2CF
由已知CD=2AD,得到AD=CF
由平行四边形ADFB得AD=BF,所以CF=BF即BC=2AD
所以BC=CD
2)因为△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG
所以∠ECG=90,CE=CG,
所以△ECG是等腰直角三角形,
又∠BCD的平分线于点E
所以∠DCE=∠DCB/2=45
所以CD平分等腰直角三角形的顶角
所以CD垂直平分EG（三线合一）
3）过A作AF⊥BC,垂足为F,得矩形AFCD,
在直角三角形ABF中,由tan∠ABC=2=AF/FB,
所以AF=2BF,
又AF=CD
所以CD=BF,
因为CD=2AD
所以BF=AD
又AD=CF
所以CD=2CD=CF+FB=BC,
又CD垂直平分EG
所以DG=DE,
∠GDP=∠EDP,
又旋转,得∠CBP=∠CDG,
所以∠CBP=∠CDE
在△BCP和△DCF中,
∠BCP=∠DCF=90,
BC=DC
∠CBP=∠CDF
所以△BCP≌△DCF
所以CP=CF
因为CF=AD
所以CP=AD
因为CD=2AD
所以CD=2CP
即P是CD的中点