在三角形ABC中,已知b=1,c=2,角a的平分线AD的长度记为d,切d=2√3/3,求a及角a角c的大小

Question

在三角形ABC中,已知b=1,c=2,角a的平分线AD的长度记为d,切d=2√3/3,求a及角a角c的大小

Answer 1

∵AD平分∠A
∴CD:DB=AC:AB=1:2
设CD和DB分别为x和2x
根据余弦定理,我们有：
x^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cos[(∠A)/2]=1+d^2-2d*cos[(∠A)/2]------------（1）式
（2x）^2=AB^2+AD^2-2*AB*AC*cos[(∠A)/2]=4+d^2-4d*cos[(∠A)/2]------------（2）式
（2）*2-（1）,得到：2x^2=2-d^2=2/3
∴x=3^（-1/2）,
所以a=3x=3^（1/2）
将x的值代入（1）式可以求得coscos[(∠A)/2]=3^（1/2）/2
∴(∠A)/2=30°
∴∠A=60°
∵a=3^（1/2）,b=1,c=2
满足a^2+b^2=c^2
∴△ABC为直角三角形,最大边c对于的角为直角
∴∠C=90°