已知函数f（x）=2cosx（3sinx-cosx）+1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，5π12]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=1013，x0∈[π2，7π12]，求cos2x0的值．

Question

已知函数f（x）=2cosx（√(3)sinx-cosx）+1（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，(5π)/(12)]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=(10)/(13)，x₀∈[(π)/(2)，(7π)/(12)]，求cos2x₀的值．

Answer 1

（1）由f（x）=2cosx（√(3)sinx-cosx）+1（x∈R）得
f（x）=√(3)（2sinxcosx）-（2cos²x-1）=√(3)sin2x-cos2x=2sin（2x-(π)/(6)）
所以函数f（x）的最小正周期为π
因为f（x）=2sin（2x-(π)/(6)）在区间[0，(π)/(3)]上是增函数，在区间[(π)/(3)，(5π)/(12)]上为减函数，
又f（0）=-1，f（(π)/(3)）=2，f（(5π)/(12)）=√(3)，
所以函数f（x）在区间[0，(5π)/(12)]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀−(π)/(6)）
又因为f（x₀）=(10)/(13)，所以sin（2x₀−(π)/(6)）=(5)/(13)
由x₀∈[(π)/(2)，(7π)/(12)]，得2x₀−(π)/(6)∈[(5π)/(6)，π]
从而cos（2x₀−(π)/(6)）=-√(1−sin2(2x0−(π)/(6)))=-(12)/(13)
所以cos2x₀=cos[（2x₀−(π)/(6)）+(π)/(6)]=cos（2x₀−(π)/(6)）cos(π)/(6)-sin（2x₀−(π)/(6)）sin(π)/(6)=-(5+12√(3))/(26)