极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=2cos（θ-π3）．（1）求C1与C2交点的直角坐标．（2）若曲线C3：θ=2π3（ρ∈R，ρ≠0）分别与C1，C2相交于A，B，求|AB|．

Question

极坐标系中，已知曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：ρ=2cos（θ-(π)/(3)）．
（1）求C₁与C₂交点的直角坐标．
（2）若曲线C₃：θ=(2π)/(3)（ρ∈R，ρ≠0）分别与C₁，C₂相交于A，B，求|AB|．

Answer 1

（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C₁：ρ=2cosθ，即为x²+y²-2x=0；①
曲线C₂：ρ=2cos（θ-(π)/(3)），即ρ=2（(1)/(2)cosθ+(√(3))/(2)sinθ），
即ρ²=ρcosθ+√(3)ρsinθ，即为x²+y²-x-√(3)y=0，②
联立①②解得交点为（0，0），（(3)/(2)，(√(3))/(2)）；
（2）由

ρ=2cosθ

θ=(2π)/(3)(ρ∈R，ρ≠0)

，
得A（-1，(2π)/(3)），
由

θ=(2π)/(3)(ρ∈R，ρ≠0)

ρ=2cos(θ-(π)/(3))

，
得B（1，(2π)/(3)），
则|AB|=|1-（-1）|=2．