如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为22．（I）求椭圆E的方程；（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的

Question

如图，椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为(√(2))/(2)．
（I）求椭圆E的方程；
（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知(c)/(a)=(√(2))/(2)，b=1，结合a²=b²+c²，解得a=√(2)，
∴椭圆的方程为(x2)/(2)+y2=1；
（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1 （k≠2），代入(x2)/(2)+y2=1，得
（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△>0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则x1+x2=(4k(k-1))/(1+2k2)，x1x2=(2k(k-2))/(1+2k2)，
从而直线AP与AQ的斜率之和：
kAP+kAQ=(y1+1)/(x1)+(y2+1)/(x2)=(kx1+2-k)/(x1)+(kx2+2-k)/(x2)
=2k+(2-k)((1)/(x1)+(1)/(x2))=2k+(2-k)(x1+x2)/(x1x2)
=2k+(2-k)(4k(k-1))/(2k(k-2))=2k-2(k-1)=2．