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如图,M(a,a+1)是对称轴平行于y轴的抛物线上的一点,a和a+1是斜边上的中线等于的直角三角形的两条直角边的长,A是抛物线和x轴的交点,且OA=10k,1<k<6,k是整数,关于x的方程x2-2(k-1
题目详情
如图,M(a,a+1)是对称轴平行于y轴的抛物线上的一点,a和a+1是斜边上的中线等于的直角三角形的两条直角边的长,A是抛物线和x轴的交点,且OA=10k,1<k<6,k是整数,关于x的方程x2-2(k-1)x+k2-4=0的两根也是整数.
(1)求点M和A的坐标;
(2)求这段抛物线OMA的解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)求这段抛物线OMA上的点的最大纵坐标.
(1)求点M和A的坐标;
(2)求这段抛物线OMA的解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)求这段抛物线OMA上的点的最大纵坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长,由a与a+1为两直角边,利用勾股定理列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出M坐标,利用配方法表示出已知方程的解,根据方程的解为整数,确定出k的值,即可确定出A的坐标;
(2)设这段抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(0≤x≤20),将O,A,M坐标代入得到关于a,b及c的方程组,求出方程组的解得到a,b及c的值,确定出抛物线解析式,求出自变量范围即可;
(3)这段抛物线点的最大纵坐标即为顶点纵坐标,利用顶点坐标公式求出即可.
【解析】
(1)由题意得:a2+(a+1)2=(2×)2,
整理,得:a2+a-30=0,
解得:a1=5,a2=-6,
∵点M在一象限,
∴a2=-6应舍去,
把a1=5代入a+1=6,可得点M(5,6),
解方程x2-2(k-1)x+k2-4=0,得:x=k+1±,
∵方程的两根是整数,
∴2k+5是一个完全平方数,
设2k+5=m2(m为整数),则k=,
∴1<k<6,即1<<6,
解得:7<m2<17,
∵2k+5是奇数,
∴m2=9,即2k+5=9,
解得:k=2,
∴OA=10k=20,
∴点A的坐标为(20,0);
(2)设这段抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(0≤x≤20),
由O(0,0)、M(5,6)、A(20,0)三点在这段抛物线上,
可得,
解得:a=-,b=,c=0,
则这段抛物线解析式为y=-x2+x(0≤x≤20);
(3)∵这段抛物线的顶点的纵坐标最大,
∴最大纵坐标为y===8.
(2)设这段抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(0≤x≤20),将O,A,M坐标代入得到关于a,b及c的方程组,求出方程组的解得到a,b及c的值,确定出抛物线解析式,求出自变量范围即可;
(3)这段抛物线点的最大纵坐标即为顶点纵坐标,利用顶点坐标公式求出即可.
【解析】
(1)由题意得:a2+(a+1)2=(2×)2,
整理,得:a2+a-30=0,
解得:a1=5,a2=-6,
∵点M在一象限,
∴a2=-6应舍去,
把a1=5代入a+1=6,可得点M(5,6),
解方程x2-2(k-1)x+k2-4=0,得:x=k+1±,
∵方程的两根是整数,
∴2k+5是一个完全平方数,
设2k+5=m2(m为整数),则k=,
∴1<k<6,即1<<6,
解得:7<m2<17,
∵2k+5是奇数,
∴m2=9,即2k+5=9,
解得:k=2,
∴OA=10k=20,
∴点A的坐标为(20,0);
(2)设这段抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(0≤x≤20),
由O(0,0)、M(5,6)、A(20,0)三点在这段抛物线上,
可得,
解得:a=-,b=,c=0,
则这段抛物线解析式为y=-x2+x(0≤x≤20);
(3)∵这段抛物线的顶点的纵坐标最大,
∴最大纵坐标为y===8.
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