如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-12x+m交线段OA于点E．（1）矩形OABC的周长是；

Question

如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=- (1)/(2)x+m交线段OA于点E．

（1）矩形OABC的周长是___；
（2）连结OD，当OD=DE时，求m的值；
（3）若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），
∴AB=OC=2，BC=OA=10，
∴C_矩形OABC=（OC+OA）×2=24．
故答案为：24．
（2）令y=-(1)/(2)x+m中y=0，则-(1)/(2)x+m=0，
解得：x=2m，即点E（2m，0）；
令y=-(1)/(2)x+m中y=2，则-(1)/(2)x+m=2，
解得：x=2m-4，即点D（2m-4，2）．
∵OD=DE，四边形OABC为矩形，
∴OE=2CD，即2m=2×（2m-4），
解得：m=4．
（3）设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，过点D作DH⊥OA于点H，如图所示．

矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知：DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形．
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
∵DM∥NE，
∴∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
∵OC=2，
∴DH=2，
∵直线DE的解析式为y=-(1)/(2)x+m，
∴HE=2DH=4．
设菱形DNEM 的边长为a，
∴HN=HE-NE=OE-OH-NE=4-a，
在RT△DHN中，（4-a）²+2²=a²，
解得：a=(5)/(2)，
∴S_菱形DNEM=NE•DH=5，
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，且面积始终为5．