已知点O是矩形ABCD内（不包含边界）一动点，AB=5，AD=12，过点O分别作边AB、AD的平行线EF、GH，交矩形的四边于E、F、G、H，如图三；（1）求证：四边形AEOG是矩形；（2）如图一，当点O在对角线

Question

已知点O是矩形ABCD内（不包含边界）一动点，AB=5，AD=12，过点O分别作边AB、AD的平行线EF、GH，交矩形的四边于E、F、G、H，如图三；
（1）求证：四边形AEOG是矩形；
（2）如图一，当点O在对角线BD上运动、矩形AEOG是正方形时，求四边形OHCF的面积S；
（3）如图二，连结EG，GF，FH，EH，求四边形EGFH的周长C的最小值；
（4）若x＞0，y＞0，请你在图三中利用数形结合的思想，求代数式√(x2+(12−y)2)+√(y2+(5−x)2)的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵EO∥AG，AE∥OG，
∴四边形AEOG是平行四边形．
∵∠A=90°，
∴四边形AEOG是矩形；

（2）设OE=OG=x，则BE=5-x，
∵EF∥AD，
∴△BOE∽△BDA，
∴(BE)/(AB)=(OE)/(AD)，即(5−x)/(5)=(x)/(12)，解得x=(60)/(17)．
∴OH=BE=5-(60)/(17)=(25)/(17)，OF=12-(60)/(17)=(144)/(17)，
∴S=OH•OF=(25)/(17)×(144)/(17)=(3600)/(17)；

（3）连接AC，OA，OC，
∵AB=5，BC=12，
∴AC=13．
∵OA=EG，OC=HF，OA+OC≥13，
∴EC+HF≥13．
同理，EH+GF≥13，
∴EG+HF+EH+GF≥26；

（4）设AE=x，GD=y，BE=5-x，则AO=√(x2+(12−y)2)，CO=√(y2+(5−x)2)．
∵AO+OC≥AC=13，
∴√(x2+(12−y)2)+√(y2+(5−x)2)的最小值为13．