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如图1,矩形BCD的边OD,OB分别在x轴和y轴上,且B(0,8),D(10,0).点E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠,使点D恰好落在BC边上的点A处.(1)直接写出A,E的坐标;(2)若抛
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如图1,矩形BCD的边OD,OB分别在x轴和y轴上,且B(0,8),D(10,0).点E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠,使点D恰好落在BC边上的点A处.
(1)直接写出A,E的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx经过点A,D,求此抛物线的解析式;
(3)若点M是(2)是的抛物线对称轴上的一点,点N是坐标平面内一点,是否存在M,N使以A,M,N,E为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动,动点Q从点D出发沿折线D-C-A以同样的速度运动,两点同时出发,当一点运动到终点时,另一点也随之停止,过动点P作直线l⊥x轴,依次交射线OA,OE于点F,G,设运动时间为t(秒),△QFG的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.(t的取值应保证△QFG的存在)

(1)直接写出A,E的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx经过点A,D,求此抛物线的解析式;
(3)若点M是(2)是的抛物线对称轴上的一点,点N是坐标平面内一点,是否存在M,N使以A,M,N,E为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动,动点Q从点D出发沿折线D-C-A以同样的速度运动,两点同时出发,当一点运动到终点时,另一点也随之停止,过动点P作直线l⊥x轴,依次交射线OA,OE于点F,G,设运动时间为t(秒),△QFG的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.(t的取值应保证△QFG的存在)

▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
∵四边形OBCD是矩形,B(0,8),D(10,0),
∴BC=OD=10,DC=OB=8,∠OBC=∠C=90°.
由折叠可得:OA=OD=10,AE=DE.
∵∠OBC=90°,OB=8,OA=10,
∴AB=6.
∴AC=4.
设AE=DE=x,则CE=8-x.
∵∠C=90°,
∴x2=42+(8-x)2.
解得:x=5.
∴AE=DE=5.
∴点A的坐标为(6,8),点E的坐标为(10,5).
(2)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(6,8),D(10,0),
∴
,
解得:
.
∴此抛物线的解析式为y=-
x2+
x.
(3)存在M、N,使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形.
设抛物线的对称轴与BC交于点H,过点E作EN⊥AH,垂足为N,连接AM、ME,如图1,
设点M的坐标为(m,n),则m=-
=5.
∴AH=6-5=1,HM=
,EN=10-5=5,NM=
.
∵AH⊥HM,
∴AM2=AH2+MH2=1+(8-n)2.
∵EN⊥MN,
∴ME2=EN2+MN2=25+(5-n)2.
①若AM与AE是菱形的一组邻边,则AM=AE.
∴AM2=AE2.
∴1+(8-n)2=25.
∴(8-n)2=24.
解得:n1=8-2
,n2=8+2
.
②若EM与EA是菱形的一组邻边,则EM=EA.
∴EM2=EA2.
∴25+(5-n)2=25.
∴(5-n)2=0.
∴n3=5.
③若MA与ME是菱形的一组邻边,则MA=ME.
∴MA2=ME2.
∴1+(8-n)2=25+(5-n)2.
解得:n4=2.5.
综上所述:满足要求的点M的坐标为(5,8-2
),(5,8+2
),(5,5),(5,2.5).
(4)设直线OA的解析式y=k1x,
∵点A的坐标为(6,8),
∴6k1x=8.
∴k1=
x.
∴直线OA的解析式y=
x.
同理可得:直线OE的表达式为y=
x.
∵OP=1×t=t,
∴P(t,0).
∵直线l⊥x轴于点P,点F、G是直线l与OA,OE的交点,
∴F(t,
t),G(t,
t).
故FG=
t-
t=
t.
①当0<t≤8时,点Q在线段DC上,
过点Q作QS⊥直线l,垂足为S,如图2,
则QS=PD=10-t.
∴S=
FG•QS=
FG•PD
=
×
t(10-t)
=-
t2+
t.
②当8≤t<9时,点Q在线段CA上,且在直线l的右侧,
设FG交AC于点N,如图3,
则QN=CN-CQ=PD-CQ=(10-t)-(t-8)=18-2t.
∴S=
FG•QN
=
×
t(18-2t)
=-
t2+
t.
③当t=9时,QN=18-2t=0,点Q与点N重合,此时△QFG不存在,故舍去.
④当9<t≤10时,点Q在线段CA上,且在直线l的左侧,
设FG交AC于点N,如图4.
则QN=CQ-CN=CQ-PD=(t-8)-(10-t)=2t-18.
∴S=
FG•QN
=
×
t(2t-18)
=
t2-
t.
综上所述:S=
.
∵四边形OBCD是矩形,B(0,8),D(10,0),
∴BC=OD=10,DC=OB=8,∠OBC=∠C=90°.
由折叠可得:OA=OD=10,AE=DE.
∵∠OBC=90°,OB=8,OA=10,
∴AB=6.
∴AC=4.
设AE=DE=x,则CE=8-x.
∵∠C=90°,
∴x2=42+(8-x)2.
解得:x=5.
∴AE=DE=5.
∴点A的坐标为(6,8),点E的坐标为(10,5).

(2)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(6,8),D(10,0),
∴
|
解得:
|
∴此抛物线的解析式为y=-
1 |
3 |
10 |
3 |
(3)存在M、N,使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形.
设抛物线的对称轴与BC交于点H,过点E作EN⊥AH,垂足为N,连接AM、ME,如图1,
设点M的坐标为(m,n),则m=-
| ||
2×(−
|
∴AH=6-5=1,HM=
|
|
∵AH⊥HM,
∴AM2=AH2+MH2=1+(8-n)2.
∵EN⊥MN,
∴ME2=EN2+MN2=25+(5-n)2.
①若AM与AE是菱形的一组邻边,则AM=AE.
∴AM2=AE2.
∴1+(8-n)2=25.
∴(8-n)2=24.
解得:n1=8-2
6 |
6 |
②若EM与EA是菱形的一组邻边,则EM=EA.
∴EM2=EA2.
∴25+(5-n)2=25.
∴(5-n)2=0.
∴n3=5.
③若MA与ME是菱形的一组邻边,则MA=ME.
∴MA2=ME2.
∴1+(8-n)2=25+(5-n)2.
解得:n4=2.5.
综上所述:满足要求的点M的坐标为(5,8-2
6 |
6 |
(4)设直线OA的解析式y=k1x,
∵点A的坐标为(6,8),
∴6k1x=8.
∴k1=
4 |
3 |
∴直线OA的解析式y=
4 |
3 |
同理可得:直线OE的表达式为y=
1 |
2 |
∵OP=1×t=t,
∴P(t,0).

∵直线l⊥x轴于点P,点F、G是直线l与OA,OE的交点,
∴F(t,
4 |
3 |
1 |
2 |
故FG=
4 |
3 |
1 |
2 |
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6 |
①当0<t≤8时,点Q在线段DC上,
过点Q作QS⊥直线l,垂足为S,如图2,
则QS=PD=10-t.
∴S=
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2 |
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2 |
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=-
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②当8≤t<9时,点Q在线段CA上,且在直线l的右侧,
设FG交AC于点N,如图3,
则QN=CN-CQ=PD-CQ=(10-t)-(t-8)=18-2t.
∴S=
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2 |
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=-
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2 |
③当t=9时,QN=18-2t=0,点Q与点N重合,此时△QFG不存在,故舍去.
④当9<t≤10时,点Q在线段CA上,且在直线l的左侧,
设FG交AC于点N,如图4.

则QN=CQ-CN=CQ-PD=(t-8)-(10-t)=2t-18.
∴S=
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2 |
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综上所述:S=
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