如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

题目详情

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱
SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=

．

（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=

，
∴四棱锥S-ABCD的体积=

×(AD+BC)×AB×SA=

；
（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（0.5，0，0，），S（0，0，1），
则

=（1，1，-1），

=（0.5，0，-1）．
设平面SCD的法向量是

=（x，y，z），则

x+y-z=0

0.5x-z=0

令z=1，则x=2，y=-1．于是

=（2，-1，1）．
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
∵

=（0.5，0，0），∴|cosα|=

0.5×

∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

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