如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱
SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=(1)/(2)．

（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=(1)/(2)，
∴四棱锥S-ABCD的体积=(1)/(3)×(1)/(2)×(AD+BC)×AB×SA=(1)/(4)；
（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（0.5，0，0，），S（0，0，1），
则

SC

=（1，1，-1），

SD

=（0.5，0，-1）．
设平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），则

x+y-z=0

0.5x-z=0

令z=1，则x=2，y=-1．于是

n

=（2，-1，1）．
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
∵

AD

=（0.5，0，0），∴|cosα|=(1)/(0.5×√(6))=(√(6))/(3)
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

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