相似形中的一道题在正方形ABCD中AD=8点E是CD上的动点,AE的中垂线FK分别交AD、AE、BC于F、H、K,设DE=a,FH/HK=t,用含有a的代数式表示t

Question

相似形中的一道题
在正方形ABCD中AD=8点E是CD上的动点,AE的中垂线FK分别交AD、AE、BC于F、H、K,设DE=a,FH/HK=t,用含有a的代数式表示t

Answer 1

这个题目其实用解析法非常简单,但是如果用初中几何知识就稍微复杂了些.下面用初中知识解答一下,结果由于没有很仔细算不知道结果是否完全正确,但是思路是正确的.
延长AE与BC的延长线相交于G,并且设BK=x,FD=y,KC=z
由已知DE=a,显然AF=FE=8-a,则在直角三角形FDE内DE,FD,EF构成勾股关系容易算出y=4-a^2/16 (a^2表示a的平方下面也用同样方法表示平方)
则有AF=8-y=4+a^2/16
下面计算BK与KC
易知x+z=8,另外在直角三角形ABK与直角三角形KEC中两条斜边AK与KE是相等的,所以可以有勾股关系建立另外一个等式即AB^2+BK^2=
EC^2+KC^2,代入相关符号后即为8^2+x^2=z^2+(8-a)^2化简后就可以得到结果x^2=z^2+a^2-16a
最后代入x+z=8可以得到z=4+a-a^2/16,即KC=4+a-a^2/16
下面只需要求出CG的长度就可以了,容易知道在直角三角形ADE与直角三角形CEG是相似的,所以根据比例关系CG=CE*(AD/DE)=(64-8a)/a
所以KG=KC+CG=-a^2/16+a+64/a-4
下面就简单了,显然三角形AFH与三角形HKG是相似的,而我们已经求出AF与KG的长度,所以可以有如下比例AF/KG=FH/HK=t求出含有a的t的代数式,化简后可以得到t=(a^2+64a)/(-a^3+16a^2-64a+1024)