（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：DECF=ADCD；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：

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（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：

；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得

成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出

的值．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴

；

（2）当∠B+∠EGC=180°时，

成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴

，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴

，
∴

，
即当∠B+∠EGC=180°时，

成立．

（3）

．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中

AD=CD

AB=BC

BD=BD

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴

，
∴