．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是．

Question

．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．

　

Answer 1

（2﹣3）a≤DE≤a．　．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，解直角三角形即可求得DE的最大值；当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，证明△ABD≌△ADF，则∠B=∠AFD，BD=DF，然后证明△ABH∽△DFH，根据相似三角形的性质求得DH==a，即可求得DE的最小值．

【解答】当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，如图1，

∵∠BAE=30°，∠AEB=90°，

∴DE=AB=a，

当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，如图2，

作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，

∵AF⊥BC，

∴∠BAF=∠CAF=30°，

∵∠BAD=∠CAE=15°，

∴∠DAH=∠EAH=15°，

∴∠BAD=∠DAH，

在△ADB和△ADF中，

，

∴△ABD≌△ADF，

∴∠B=∠AFD，BD=DF，

∵∠AHB=∠DHF=90°，

∴△ABH∽△DFH，

AB：AH=DF：DH，

∴=，

∴=，

∴DH=，其中BD+DH=a、AH=a，

∴DH==a

∴DE=（2﹣3）a，

故DE长度的取值范围是（2﹣3）a≤DE≤a．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．