(y乘以y的两阶导数)减去(y的一阶导数的平方)再减1等于0的通解

Question

(y乘以y的两阶导数)减去(y的一阶导数的平方)再减1等于0的通解

Answer 1

yy''-y'^2-1=0
设y‘=p 两边对x求导：y''=pdp/dy 代入：
pdp/dy-p^2-1=0
pdp/(p^2+1)=dy
2pdp/(p^2+1)=2dy
积分：ln(p^2+1)=2y+lnC1
p^2+1=C1e^(2y) C1>0
y'=±√[C1e^(2y)-1]
dy/ √[C1e^(2y)-1]=dx
e^(-y)dy/ √[C1-e^(-2y)]=dx
de^(-y)/ √[C1-e^(-2y)]=-dx 积分:
arcsin[e^(-y)/√C1]=-x+C2