设n阶方阵A、B满足A=1/2(B+E),证明A^2=A成立的充要条件是B^2=E

Question

设n阶方阵A、B满足A=1/2(B+E),证明A^2=A成立的充要条件是B^2=E

Answer 1

参考
充分条件
A^2=A
A^2=0.5(B+E)*0.5(B+E)=0.25(B+E)(B+E)=0.25(B^2+2B+E)=0.5(B+E)
B^2+2B+E=2(B+E) 得 B^2=E
必要条件
A=0.5(B+E)得2A-E=B 两侧都乘以自身
(2A-E)(2A-E)=B^2
4A^2-4A+E=B^2=E 得4A^2-4A=O(0矩阵)得A^2=A