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证明n阶矩阵11…111…1⋮⋮⋮11…1与0…010…02⋮⋮⋮0…0n相似．
题目详情
证明n阶矩阵
与
相似．
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▼优质解答
答案和解析
设A=
，B=
．
下面分别求两个矩阵的特征值和特征向量，
因为：
|λE-A|=
=（λ-n）λn-1，
所以A的n个特征值为：λ1=n，λ2=λ3=…λn=0，
而且A是实对称矩阵，
所以一定可以对角化，且
A～
．
因为
=
=（λ-n）λn-1，
所以B的n个特征值也为λ1=n，λ2=λ3=…λn=0；
对于n-1重特征值λ=0，由于矩阵（0E-B）=-B的秩显然为1，所以，矩阵B对应n-1重特征值λ=0有n-1个线性无关的向量，
进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且
B～
．
从而可知n阶矩阵
与
相似．
设A=
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下面分别求两个矩阵的特征值和特征向量，
因为：
|λE-A|=
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所以A的n个特征值为：λ1=n，λ2=λ3=…λn=0，
而且A是实对称矩阵，
所以一定可以对角化，且
A～
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因为
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所以B的n个特征值也为λ1=n，λ2=λ3=…λn=0；
对于n-1重特征值λ=0，由于矩阵（0E-B）=-B的秩显然为1，所以，矩阵B对应n-1重特征值λ=0有n-1个线性无关的向量，
进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且
B～
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从而可知n阶矩阵
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