设A为n阶方阵,且A2=A,则R(A)+R(A-E)=

Question

设A为n阶方阵,且A2=A,则R(A)+ R(A- E) =

Answer 1

求法很多,用一种最简单的：
根据秩的不等式：
R(A)+R(A-E) -n ≤ R[A(A-E)]
=R(A^2-A)
又因为：A^2=A,即A^2 - A =0(零阵)
因此：
R(A)+R(A-E) -n ≤ R[A(A-E)]
=R(A^2-A) = 0
即：
R(A)+R(A-E) ≤ n
又易知R(E-A)=R(A-E),则：
R(A)+R(A-E)
=R(A)+R(E-A) ≥ R[A+(E-A)] = R(E) = n
综上：
R(A)+R(A-E) = n