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求函数in(1+x)的n阶导数.
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求函数in(1+x)的n阶导数.
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答案和解析
y = ln(1 + x)
y' = 1/(1 + x) = (- 1)^0 * (1 + x)^(- 1) * 0!
y'' = - 1/(1 + x)^2 = (- 1)^1 * (1 + x)^(- 2) * 1!
y''' = 2/(1 + x)^3 = (- 1)^2 * (1 + x)^(- 3) * 2!
y(4) = - 6/(1 + x)^4 = (- 1)^3 * (1 + x)^(- 4) * 3!
y(5) = 24/(1 + x)^5 = (- 1)^4 * (1 + x)^(- 5) * 4!
∴n阶导数
y(n) = (- 1)^(n - 1) * (1 + x)^(- n) * (n - 1)!
= (n - 1)!(- 1)^(n - 1)/(1 + x)^n
y' = 1/(1 + x) = (- 1)^0 * (1 + x)^(- 1) * 0!
y'' = - 1/(1 + x)^2 = (- 1)^1 * (1 + x)^(- 2) * 1!
y''' = 2/(1 + x)^3 = (- 1)^2 * (1 + x)^(- 3) * 2!
y(4) = - 6/(1 + x)^4 = (- 1)^3 * (1 + x)^(- 4) * 3!
y(5) = 24/(1 + x)^5 = (- 1)^4 * (1 + x)^(- 5) * 4!
∴n阶导数
y(n) = (- 1)^(n - 1) * (1 + x)^(- n) * (n - 1)!
= (n - 1)!(- 1)^(n - 1)/(1 + x)^n
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