一般方程L1:x-3y+z=0,2x-4y+z+1=0和直线L2,x/1=(y+1)/3=(z-2)/4,1求证L1L2为异面直线2.求两直线距离,3求过L1且与L2平行的平面方程

Question

一般方程L1:x-3y+z=0,2x-4y+z+1=0和直线L2,x/1=(y+1)/3=(z-2)/4,1求证L1L2为异面直线
2.求两直线距离,3求过L1且与L2平行的平面方程

Answer 1

1、直线 L1 的方程可化为 (x-0)/1=(y-1)/1=(z-3)/2 ,
联立方程组｛ (x-0)/1=(y-1)/1=(z-3)/2 ；(x-0)/1=(y+1)/3=(z-2)/4 ,此方程组无解,
且两直线的方向向量分别为 v1=（1,1,2）,v2=（1,3,4）,
所以它们不相交,也不平行,因此是异面直线.
2、与 L1、L2 都垂直的向量 n=v1×v2=（-2,-2,2）,
直线 L1 过 A（0,1,3）,直线 L2 过 B（0,-1,2）,则向量 AB=OB-OA=（0,-2,-1）,
所求距离为 AB 在 n 上的投影的绝对值,
即 d=|AB*n| / |n|=|0+4-2| / √(4+4+4)=√3/3 .
3、过 L1 且与 L2 平行的平面就是过 A 且垂直于 n 的平面,
所以所求平面方程为 -2(x-0)-2(y-1)+2(z-3)=0 ,化简得 x+y-z+2=0 .