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设函数f（x）在点x=0的领域内二阶可导，且limx→0sinx+xf(x)x3=0，试求f（0），f′（0）以及f″（0）．
题目详情
设函数f（x）在点x=0的领域内二阶可导，且
=0，试求f（0），f′（0）以及f″（0）．
| lim |
| x→0 |
| sinx+xf(x) |
| x3 |
▼优质解答
答案和解析
函数f（x）在点x=0的领域内二阶可导，则函数f（x）在点x=0的领域内一阶可导，且函数及其一阶导函数连续．
=
=0
所以，
cosx+f(x)+xf′(x)=0，所以f（0）=-1；
=
=0
所以，
[-sinx+2f′(x)+xf″(x)]=0，所以，f′（x）=0
=
[
+
+
]=
+
+
=-
+
f″(0)+
=-
+
f″(0)+
f″(0)=-
+
f″(0)=0
所以，f″(0)=
．
| lim |
| x→0 |
| sinx+xf(x) |
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| cosx+f(x)+xf′(x) |
| 3x2 |
所以，
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
| cosx+f(x)+xf′(x) |
| 3x2 |
| lim |
| x→0 |
| -sinx+2f′(x)+xf″(x) |
| 6x |
所以，
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
| -sinx+2f′(x)+xf″(x) |
| 6x |
| lim |
| x→0 |
| -sinx |
| 6x |
| 2f′(x) |
| 6x |
| xf″(x) |
| 6x |
| lim |
| x→0 |
| -sinx |
| 6x |
| lim |
| x→0 |
| 2[f′(x)-f′(0)] |
| 6(x-0) |
| lim |
| x→0 |
| xf″(x) |
| 6x |
=-
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| lim |
| x→0 |
| f″(x) |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
所以，f″(0)=
| 1 |
| 3 |
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