设闭区域D：x2+y2≤y，x≥0．f（x，y）为D上的连续函数，且f（x，y）=1−x2−y2−8π∬Df（u，v）dudv，求f（x，y）．

Question

设闭区域D：x²+y²≤y，x≥0．f（x，y）为D上的连续函数，且f（x，y）=√(1−x2−y2)−(8)/(π)

∬

D

f（u，v）dudv，求f（x，y）．

Answer 1

积分区域是以（0，(1)/(2)）为圆心，以(1)/(2)为半径的圆的右半部分，
图形如右所示：
设：

∬

D

f(u，v)dudv＝A，
在区域D上，对f(x，y)＝√(1−x2−y2)−(8)/(π)

∫∫

D

f(u，v)dudv两边同时求二重积分，
则有：
A=

∬

D

f(x，y)dxdy=左边=右边=

∬

D

√(1−x2−y2)dxdy-(8A)/(π)

∬

D

dxdy，（1）
易知：

∬

D

dxdy=(π)/(8)，
而：

∬

D

√(1−x2−y2)dxdy=

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

sinθ 0

√(1−r2)rdr<

作业搜用户 2017-10-29