如图所示，任意△ABC，分别以AB、AC为腰，以A为顶角的顶点向△ABC的两侧作等腰△ABM、等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM=x，MC与NB的延长线交于O．（1）如图一，若x=45°，则∠O=；（2）如图二，若x=

Question

如图所示，任意△ABC，分别以AB、AC为腰，以A为顶角的顶点向△ABC的两侧作等腰△ABM、等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM=x，MC与NB的延长线交于O．
（1）如图一，若x=45°，则∠O=______；
（2）如图二，若x=30°，则∠O=______；
（3）如图三，猜想∠BOC的度数（用含x的式子表示），并证明你的结论．

Answer 1

∵△ABM、△ACN都是等腰三角形，∠ANC=∠ABM，
∴AB=AM，AC=AN，∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN-∠BAC=∠BAM-∠BAC，
即∠BAN=∠MAC，
在△ABN和△AMC中，

AB＝AM

∠BAN＝∠MAC

AC＝AN

，
∴△ABN≌△AMC（SAS），
∴∠ABN=∠AMC，
∵∠ANC=∠ABM=x，
∴∠BMO=∠AMC-x，∠NBM=∠ABN+x，
在△BOM中，由三角形的外角性质，∠NBM=∠O+∠BMO，
即∠ABN+x=∠O+∠AMC-x，
∴∠O=2x，
（1）x=45°时，∠O=2x=2×45°=90°；

（2）x=30°时，∠O=2x=2×30°=60°；
故答案为：（1）90°；（2）60°；

（3）∠BOC=2x．