fx=x^msin1/x当x不等于0时当x等于0时fx=0m为何值fx在x=0连续fx=x^msin1/x当x不等于0时当x等于0时fx=0m为何值fx在x=0连续fx在x=0可导fx的导函数在x=0连续三小问

Question

fx=x^msin1/x当x不等于0时 当x等于0时 fx=0 m为何值fx在x=0连续
fx=x^msin1/x当x不等于0时 当x等于0时 fx=0 m为何值fx在x=0连续 fx在x=0可导 fx的导函数在x=0连续 三小问

Answer 1

1、f(x)在0处连续,即要求limf(x)(x→0)=f(0)=0
limf(x)=limx^msin(1/x) (x→0)
当m>0时,显然有limf(x)=0,即m>0时,函数在0处连续.
2、f(x)在0处可导,即要求lim(f(x)-f(0))/x 在x→0时极限存在.
lim(f(x)-f(0))/x=limx^(m-1)sin(1/x) (x→0)
当m>1时 f‘(0)存在且等于0
3、f'(x)在x=0处连续,即要求limf'(x)(x→0)=f'(0)=0
f'(x)=mx^(m-1)sin(1/x)-x^(m-2)cos(1/x)=x^(m-2)(mxsin(1/x)-cos1/x)
当x→0时,
函数g(x)=mxsin(1/x)-cos1/x有界,
所以当m>2时,limf'(x)(x→0)=f'(0)=0,f'(x)在x=0处连续.