5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相

Question

5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是

(1)/(2)．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．有下列四个命题：p₁：恰有四支球队并列第一名为不可能事件；p₂：有可能出现恰有两支球队并列第一名；p₃：每支球队都既有胜又有败的概率为(17)/(32)；p₄：五支球队成绩并列第一名的概率为(3)/(32)．其中真命题是（　　）

A. p₁，p₂，p₃

B. p₁，p₂，p₄

C. p₁，p₃，p₄

D. p₂，p₃，p₄

Answer 1

p₁为真：因为若出现四支球队并列第一名，
则第一名的胜场数不可能为3或者4（因为如此需要超过10个单场胜利者）并列赢两场，
那么自然就是五队同名次，所以不可能恰有四支球队并列第一．有可能出现恰有两支球队并列第一名，p₂为真．
p₃为真：5支球队单循环一共是10场比赛，
所以有2¹⁰个不同的结果，由于胜率都是(1)/(2)，
故认为所有不同比赛结果都是等可能的．记有全胜的比赛可能结果为

C

1 5

26种，
有全败的比赛可能结果为

C

1 5

26种．既有全胜又有全败的结果为

A

2 5

23种，
则既无全胜又无全败的结果为210-

C

1 5

26-

C

1 5

26+

A

2 5

23种．
命题p₃的概率为(210-C15•26-C15•26+A25•23)/(210)
=1-(5×27)/(210)+(20×23)/(210)=1-(5)/(8)+(5)/(32)=(17)/(32)，故p₃是正确的．
p₄为假：若五支球队成绩并列第一名则必出现a>b>c>d>e>a，
同时a>c>e>b>d>a，
也就是彼得森图．规定外圈顺时针为胜，
那么外圈一共有(A55)/(5)种不同排列，内圈只有两种，
故一共有48种，所以概率为(48)/(210)=(3)/(64)．
故选：A．