如图，已知△ABC的边AB是O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D、C．过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=6，求线段AB的长．

Question

如图，已知△ABC的边AB是 O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D、C．过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=6，求线段AB的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是 0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，OB，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC=√(BE2+CE2)=3√(5)，
∵CD是 O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴(CD)/(BC)=(BC)/(CE)，
∴BC²=CD•CE，
∴CD=(45)/(6)=(15)/(2)，
∴OB=(15)/(4)，
∵OB⊥AE，CE⊥AE，
∴OB∥CE，
∴△ABO∽△AEC，
∴(AB)/(AE)=(OB)/(CE)，
∴(AB)/(AB+3)=((15)/(4))/(6)，
∴AB=5．