（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=22BC；②S△AEF≤14S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD

Question

（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①（BE+CF）=(√(2))/(2)BC；
②S_△AEF≤(1)/(4)S_△ABC；
③S_{四边形AEDF}=AD•EF；
④AD≥EF；
⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
∵

∠EAD＝∠C

AD＝CD

∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=√(AD2+BD2)=√(2)BD=(√(2))/(2)BC．
故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
∵S_△AEF=(1)/(2)AE•AF=(1)/(2)x（a-x）=-(1)/(2)（x-(1)/(2)a）²+(1)/(8)a²，
∴当x=(1)/(2)a时，S_△AEF有最大值(1)/(8)a²，
又∵(1)/(4)S_△ABC=(1)/(4)×(1)/(2)a²=(1)/(8)a²，
∴S_△AEF≤(1)/(4)S_△ABC．
故②正确；
EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2（x-(1)/(2)a）²+(1)/(2)a²，
∴当x=(1)/(2)a时，EF²取得最小值(1)/(2)a²，
∴EF≥(√(2))/(2)a（等号当且仅当x=(1)/(2)a时成立），
而AD=(√(2))/(2)a，∴EF≥AD．
故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=(1)/(2)AD²，
∵EF≥AD，
∴AD•EF≥AD²，
∴AD•EF＞S_{四边形AEDF}
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．
故选C．