在平面直角坐标系xOy,已知点A是椭圆x^2/25+y^2/9=1上的一个动点,点P在线段OA的延长线上,则向量OA乘以向量OP=72,则点P横坐标的最大值为

Question

在平面直角坐标系xOy,已知点A是椭 圆x^2/25+y^2/9=1上的一个动点,点P 在线段OA的延长线上,则向量OA乘以 向 量OP=72,则点P横坐标的最大值为

Answer 1

点O、A、P是一直线的,则：
向量OA乘以向量OP=72
|OA|×|OP|=72
设：A(5cosw,3sinw),则：P(5tcosw,3tsinw)
则：
25tcos²w＋9tsin²w=72
t=72/[25cos²w＋9sin²w]
t=72/[9＋16cos²w]
5tcosw=[360cosw]/[9＋16cos²w]
5tcosw=[360]/[(9/cosw)＋16cosw]
分母用基本不等式,当9/cosw=16cosw时,分母取到正的最小值,是24【此时cosw=3/4】
则：点P的横坐标的最大值是360/24=15